三门问题

三门问题又叫蒙提霍尔问题。说的是在一个电视游戏中，参赛者面对三扇一模一样的关闭着的门，其中一扇门后面是汽车，另外两扇后面是山羊。参赛者选择了一扇门，但并没有打开；这时主持人开启了另外一扇门，后面是山羊。主持人问参赛者要不要换另外一扇关着的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的概率？
注解（引自Wikipedia）：

Mueser和Granberg透过在主持人的行为身上加上明确的限制条件，提出了对这个问题的一种不含糊的陈述：

• 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有甚么。
• 主持人知道每扇门后面有什么。
• 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
• 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
• 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
• 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
• 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

大多数人都会认为不会增加赢的概率，理由是在剩下的两扇门后，肯定是一只山羊一辆汽车，无论选择哪个赢得汽车的概率都是1/2。
事实上这个答案是错的，正确结果是选择另一扇门会使记得汽车的概率增大一倍，尽管这十分违反直觉。
以下的解答引自Wikipedia：

问题的答案是可以：当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)：

• 参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。
• 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。
• 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。

在头两种情况，参赛者可以透过转换选择而赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者透过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是透过转换选择而赢的，所以透过转换选择而赢的概率是2/3。

如果没有最初选择，或者如果主持人随便打开一扇门，又或者如果主持人只会在参赛者作出某些选择时才会问是否转换选择的话，问题都将会变得不一样。例如，如果主持人先从两只山羊中剔除其中一只，然后才叫参赛者作出选择的话，选中的机会将会是1/2。

另一种解答是假设你永远都会转换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了转换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。